2025年度 北嶺中学校 算数 分析と解説 (大問4)

◎大問4

立体図形の問題より、四角すいが出題されました。

(1)～(3)は基本的な問題、(4)については高難度の立体切断となっています。

(1)

三角形OEFと三角形OABは相似で、相似比はOE:OA=①:③より1:3です。

三角形OEFと三角形OABの面積比は(1×1):(3×3)=1:9なので、三角形OABと四角形ABFEの面積比は9:(9-1)=9:8となります。

\(\underline{\rm{答. 9:8}}\)

(2)

三角形OEF:三角形OBC=1:3より、EF:AB=1:3です。

したがって、EFの長さは\(12\times\cfrac{1}{3}=4\rm{cm}\)、同様にFGの長さも4cmなので、四角形EFGHの面積は4×4=16㎠となります。

\(\underline{\rm{答. 16cm^2}}\)

(3)

正四角すいO-ABCDと正四角すいO-EFGHの体積比を考えます。

2つの正四角すいは相似で、相似比はOA:OE=3:1になります。

相似である立体の体積比は相似比の3乗になるため、O-ABCDとO-EFGHの体積比は(3×3×3):(1×1×1)=27:1です。

ここから、立体EFGH-ABCDの体積は、O-ABCDの\(\cfrac{27-1}{27}=\cfrac{26}{27}\)倍であるとわかります。

したがって、その体積は\(12\times12\times18\div3\times\cfrac{26}{27}=832\rm{cm^3}\)です。

\(\underline{\rm{答. 832cm^3}}\)

(4)

立体EFGH-ABCDを、ABGHを通る平面とCDEFを通る平面で切り取ったとき、次のような立体PQ-ABCDが生まれます。

同様に立体EFGH-ABCDを、BCHEを通る平面とDAFGを通る平面で切り取ったとき、次のような立体RS-ABCDが生まれます。

これら2つの立体を同時に描いたものが、次の図となります。

PQ-ABCDとRS-ABCDの共通部分は正四角すいT-ABCDであり、これが求めるべき立体です。

T-ABCDの高さは、三角形EFRと三角形ABRの相似を利用して求めます。

EF=4cm、AB=12cmより、三角形EFRと三角形ABRの相似比は1:3なので、三角形EFRと三角形ABRの高さの比も1:3です。このとき、平面EFGHのABCDからの高さと、平面PRQSのABCDからの高さの比が4:3となるので、平面PRQSのABCDからの高さは\(18\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}=9\rm{cm}\)となります。

したがって、正四角すいT-ABCDの高さも9cmなので、その体積は\(12\times12\times9\div3=432\rm{cm^3}\)です。

\(\underline{\rm{答. 432cm^3}}\)