2024年度 北嶺中学校 算数 分析と解説 (大問5)

◎大問5

図形の移動に関する問題です。

一見、立体図形の回転問題のように見えますが、本質としては平面図形(長方形)の回転問題となっています。

なお、平成31年の大問4においても、類似した平面図形の回転問題が出題されています。

(1)

①

一直線に移動しているだけなので、横から見た図で考えることができます。

A、D(水色)の移動距離は10×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=4.5×3.14

E、H(緑色)の移動距離は8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+10×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=4.5×3.14

B、C(橙色)の移動距離は6×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=1.5×3.14

F、G(赤色)の移動距離は6×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=1.5×3.14

なので、A、D、E、Hの4点が直線の長さの最も長くなる頂点で、その長さは4.5×3.14=14.13(cm)です。

 

\(\underline{\rm{答.頂点\cdots A、D、E、H　長さ\cdots 14.13cm}}\)

 

 

②

辺AD、EH、BC、FGが移動した面積は、①の移動距離に幅の3cmをかけて求めることができます。

AD、EH…4.5×3.14×3＝13.5×3.14

BC、FG…1.5×3.14×3＝4.5×3.14

 

辺AE(DH)が移動した後にできる図形は、次の図のようになります。

このとき、1回目(水色)、2回目(緑)の回転で作られる図形の面積は、それぞれ5×5×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4×\(\cfrac{1}{2}\)×2－(4×4×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4)=9×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=2.25×3.14(㎠)です。

これを2個組み合わせると2.25×3.14×2=4.5×3.14ですが、中央にある2回どちらでも通る部分の面積を減らさなくてはなりません。この部分の面積を求めることはできませんが、最終的な面積は4.5×3.14よりも小さくなります。

 

辺AB(DC)が移動した後にできる図形は、次の図のようになります。

このとき、回転によって作られる図形の面積は、5×5×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4×\(\cfrac{1}{2}\)×2－(3×3×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4)+4×4×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)(㎠)です。

 

辺EF(HG)が移動した後にできる図形は、次の図のようになります。

これは、辺AB(DC)が移動した後にできる図形と線対称になるので、面積はやはり8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)(㎠)になります。

 

これらの中で最も面積が大きくなるのは、辺AD、EHの13.5×3.14=42.39(㎠)です。

\(\underline{\rm{答. 辺\cdots AD、EH　面積\cdots 42.39㎠}}\)

 

 

(2)

①

2回目の移動が1回目とは90度ずれているので、分けて考えていく必要があります。

このときの各頂点の移動距離は次の通りになります。

A\(\cdots\)10×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=4.5×3.14

B\(\cdots\)6×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=1.5×3.14

C\(\cdots\)6×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+6×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=3×3.14

D\(\cdots\)10×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+10×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=5×3.14

E\(\cdots\)8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=4×3.14

F\(\cdots\)移動しない。

G\(\cdots\)6×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=1.5×3.14

H\(\cdots\)8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+10×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=4.5×3.14

したがって、もっとも長い距離を移動した頂点はDで、その長さは5×3.14=15.7(cm)です。

\(\underline{\rm{答. 頂点\cdots D　長さ\cdots 15.7cm}}\)

 

②

1回目と2回目の移動を分けて考える必要があります。

辺	1回目	2回目	合計
AB	5×5×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4×\(\cfrac{1}{2}\)×2－(3×3×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4)	4×4×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	32×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
BC	6×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)×3	3×3×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	27×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
CD	5×5×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4×\(\cfrac{1}{2}\)×2－(3×3×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4)	5×5×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4×\(\cfrac{1}{2}\)×2－(3×3×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4)	32×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
DA	10×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)×3	9×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	39×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
EF	4×4×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	4×4×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	32×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
FG	0	3×3×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	9×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
GH	4×4×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	5×5×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4×\(\cfrac{1}{2}\)×2－(3×3×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)+3×4)	32×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
HE	8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)×3	9×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	33×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
AE	9×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	8×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)×3	33×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
BF	3×3×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	0	9×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
CG	3×3×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	6×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)×3	25×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)
DH	9×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)	10×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)×3	39×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)

以上より、辺ADと辺DHの移動した面積が最大となり、その面積は39×3.14×\(\cfrac{1}{4}\)=30.615(㎠)です。

\(\underline{\rm{答. 辺\cdots AD、DH　面積\cdots 30.615㎠}}\)